Limites
Propriedades de Limite
Se o limite de f(x) e g(x) existe, então o seguinte se aplica:
\(\lim_{x \to a} x = a\)
\(\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim_{x \to a} f(x)\)
\(\lim_{x \to a} [f(x)]^c = [\lim_{x \to a} f(x)]^c\)
\(\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)\)
\(\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)\)
\(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}, \text{ onde } \lim_{x \to a} g(x) \neq 0\)
Propriedades de Limite ao Infinito
Para \(\lim_{x \to c} f(x) = \infty, \lim_{x \to c} g(x) = L\), o seguinte se aplica:
\(\lim_{x \to c} [f(x) \pm g(x)] = \infty\)
\(\lim_{x \to c} f(x) \cdot g(x) = \infty, L > 0\)
\(\lim_{x \to c} f(x) \cdot g(x) = -\infty, L < 0[/latex]
\(\)\lim_{x \to c} \frac{g(x)}{f(x)} = 0\)
\(\lim_{x \to \infty} (ax)^n = \infty, a > 0\)
\(\lim_{x \to -\infty} (ax)^n = \infty, n \text{ é par}, a > 0\)
\(\lim_{x \to -\infty} (ax)^n = -\infty, n \text{ é ímpar}, a > 0\)
\(\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^a} = 0\)
Formas Indeterminadas
\(\frac{0}{0}\)
\(\frac{\infty}{\infty}\)
\(0 \cdot \infty\)
\(\infty - \infty\)
\(1^\infty\)
Limites Comuns
\(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k\)
\(\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + k}{x}\right)^{-x} = e^{-k}\)
\(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e\)
Regras de Limite
Limite de uma Constante
\(\lim_{x \to a} c = c\)
Limite Básico
\(\lim_{x \to a} x = a\)
Teorema do Confronto
Sejam f, g e h funções tais que para todo \(x \in [a,b]\) exceto, possivelmente, no ponto limite c,\(f(x) \leq h(x) \leq g(x)\)
Também suponha que, \(\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = L\)
Então para qualquer \(a \leq c \leq b, \lim_{x \to c} h(x) = L\)
Regra de L'Hôpital
Para \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\),se \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\) ou \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\pm\infty}{\pm\infty}\),
então \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)
Critério de Divergência
Se existem duas sequências, \(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\) e \(\{y_n\}_{n=1}^{\infty}\) com\(x_n \neq c\) e \(y_n \neq c\)
\(\lim x_n = \lim y_n = c\)
\(\lim f(x_n) \neq \lim f(y_n)\)
Então \(\lim_{x \to c} f(x)\) não existe
Regra da Cadeia para Limites
Se \(\lim_{u \to b} f(u) = L\), e \(\lim_{x \to a} g(x) = b\), e \(f(x)\) é contínuo em \(x = b\)Então: \(\lim_{x \to a} f(g(x)) = L\)