O que são Matrizes?
Uma matriz é um arranjo retangular de números, símbolos ou expressões, organizados em linhas e colunas. É uma das estruturas fundamentais da álgebra linear.
\( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \)
Matriz 2×2
a₁₁
a₁₂
a₂₁
a₂₂
Matriz 3×3
a₁₁
a₁₂
a₁₃
a₂₁
a₂₂
a₂₃
a₃₁
a₃₂
a₃₃
Operações Básicas com Matrizes
1. Adição de Matrizes
Para somar duas matrizes, elas devem ter a mesma dimensão. Somamos elemento por elemento:
\( (A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij} \)
Exemplo:
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \)
\( A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \)
2. Multiplicação por Escalar
Multiplicamos cada elemento da matriz pelo escalar:
\( (kA)_{ij} = k \cdot A_{ij} \)
3. Subtração de Matrizes
Similar à adição, mas subtraímos elemento por elemento:
\( (A - B)_{ij} = A_{ij} - B_{ij} \)
Calculadora Interativa de Matrizes
Experimente as operações básicas com matrizes 2×2:
Matriz A
Matriz B
Propriedades das Operações
Propriedades da Adição:
- Comutativa: A + B = B + A
- Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
- Elemento neutro: A + O = A (onde O é a matriz nula)
- Elemento oposto: A + (-A) = O
Propriedades da Multiplicação por Escalar:
- Associativa: k(rA) = (kr)A
- Distributiva em relação à soma de escalares: (k + r)A = kA + rA
- Distributiva em relação à soma de matrizes: k(A + B) = kA + kB
- Elemento neutro: 1 × A = A